Question

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y 2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，并與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，已知拋物線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(-

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程和橢圓C的方程；
（2）若雙曲線(xiàn)與橢圓C共焦點(diǎn)，且以y=±

4

3

x為漸近線(xiàn)，求雙曲線(xiàn)的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px（p＞0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解得p，得到拋物線(xiàn)方程，得到準(zhǔn)線(xiàn)方程，即有橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由a，b，c的關(guān)系和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）由題意得到雙曲線(xiàn)的c=1，設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，求出漸近線(xiàn)方程，得到a₁，b₁的方程組，解得即可．

解答： 解：（1）由題意可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向左，
故設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px（p＞0），
∵點(diǎn)(-

2

3

，

2 6

3

)在拋物線(xiàn)y2=-2px(p＞0)上，
∴(

2 6

3

)2=-2p•(-

2

3

)，∴p=2，
∴拋物線(xiàn)的方程為y²=-4x；
故準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=1，
∴橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴c=1，
由于點(diǎn)（-

2

3

，

2 6

3

）也在橢圓上，
則

4 9 a2 + 24 9 b2 =1 a2-b2=c2=1

解得，

a2=4 b2=3

．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）因?yàn)殡p曲線(xiàn)與橢圓C共焦點(diǎn)，
所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)也在x軸上，且c=1，
則設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為

x2

a12

-

y2

b12

=1(a1＞0，b1＞0)，
由題意可知：

b1 a1 = 4 3 c2=a12+b12=1

，
解得

a12= 9 25 b12= 16 25

，
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

25x2

9

+

25y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．