Question

18．如圖，為了測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積，在操場(chǎng)中間取一點(diǎn)O．測(cè)得OA=40m，OB=37m，OC=42m，OD=44m，且∠DOA=120°，∠AOB=80°，∠BOC=60°，∠COD=100°．
（1）試求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）試求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留整數(shù)）

Answer 1

分析 （1）在四個(gè)小三角形中分別使用余弦定理求出操場(chǎng)的四條邊，
（2）分別求出四個(gè)小三角形的面積．

解答 解：（1）在△AOB中，由余弦定理得AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=1600+1369-2×40×37×0.17=2465.80，∴AB≈49.66．
在△AOD中，由余弦定理得AD²=OA²+OD²-2OA•OD•cos∠AOD=1600+1936-2×40×44×（-$\frac{1}{2}$）=5296，∴AD≈72.77．
在△BOC中，由余弦定理得BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC=1369+1764-2×37×42×$\frac{1}{2}$=1579，∴BC≈39.74．
在△COD中，由余弦定理得CD²=OC²+OD²-2OC•OD•cos∠COD=1764+1936-2×42×44×（-0.17）=4328.3，∴CD≈65.79．
∴AB+BC+CD+AD=49.66+72.77+39.74+65.79=227.96≈228（m）．
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)約為228m．
（2）S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$×40×37×0.98≈725.2，S_△BOC=$\frac{1}{2}$•OC•OB•sin∠COB=$\frac{1}{2}×$42×37×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈672.9，
S_△COD=$\frac{1}{2}$•OC•OD•sin∠COD=$\frac{1}{2}$×42×44×0.98≈905.5，S_△AOD=$\frac{1}{2}$•OA•OD•sin∠AOD=$\frac{1}{2}×$40×44×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈762.1．
∴S_△AOB+S_△BOC+S_△COD+S_△AOD=725.2+672.9+905.5+762.1≈3066．
∴四邊形ABCD的面積約為3066m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．