Question

4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）方程即（x-2）²+y² =3，表示以C（2，0）為圓心、以$\sqrt{3}$為半徑的圓．而$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$表示圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率k，設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程為y=kx，根據(jù)圓心C到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得k的最值．
（2）設(shè)z=y-x，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓（x-2）²+y²=3上，則此直線與圓相切時(shí)，z取最值，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得z的值，即為所求．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y² =3，表示以C（2，0）為圓心、以$\sqrt{3}$為半徑的圓．
而$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$表示圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率k，設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程為y=kx，
根據(jù)圓心C到切線的距離等于半徑，可得 $\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，求得k=±$\sqrt{3}$，
故k的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)z=y-x，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓（x-2）²+y²=3 上，
使直線z=y-x在y軸上截距最大時(shí)，z取得最大值；
使直線z=y-x在y軸上截距最小時(shí)，z取得最小值．
則當(dāng)直線x-y+z=0與圓相切時(shí)，z取得最值，∵圓心C（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$，
故當(dāng)z取得最值時(shí)，有$\frac{|2-0+z|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，求得z=$\sqrt{6}$-2，或 z=-$\sqrt{6}$-2，
故z=y-x的最大值為$\sqrt{6}$-2，z=y-x的最小值為-2-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線的斜率公式，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題．