Question

17．已知關于x的方程$\frac{1}{x+2}=a|x|$有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點與方程根的關系，通過函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)斜率，然后求解a的范圍即可．

解答 解：關于x的方程$\frac{1}{x+2}=a|x|$有三個不同的實數(shù)解，
就是函數(shù)y=$\frac{1}{x+2}$與y=a|x|的圖象有3個交點，
函數(shù)y=$\frac{1}{x+2}$關于（-2，0）對稱，x＞-2時，函數(shù)值大于0，而y=a|x|是折線，
顯然x＞0，a＞0時，兩個函數(shù)一定有一個交點，
x＜0時，y′=-$\frac{1}{（{x+2）}^{2}}$，設切點（m，n），
則：-$\frac{1}{（m+2）^{2}}=\frac{\frac{1}{m+2}}{m}$，解得m=-1，所以a=1時，
函數(shù)y=$\frac{1}{x+2}$與y=-ax相切，函數(shù)（x＜0）有兩個交點，必須a＞1，
綜上，a＞1時，關于x的方程$\frac{1}{x+2}=a|x|$有三個不同的實數(shù)解，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的零點判定定理的應用，考查分析問題解決問題的能力．