Question

14．函數(shù)f（x）的定義域為（-2，+∞），部分對應值如表，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，3）

x	-1	0	4
f（x）	1	-1	1

Answer 1

分析 由導數(shù)圖象可知當-2＜x＜0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當x＞0時，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解．對于可行域不要求線性目標函數(shù)的最值，而$\frac{b+2}{a+2}$ 是求可行域內(nèi)的點與定點（-2，-2）構(gòu)成的直線的斜率問題．由圖象可得結(jié)論

解答 解：由表格可得f（-1）=f（4）=1．
由導數(shù)圖象可知當-2＜x＜0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x＞0時，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，
則f（2a+b）＜f（4），
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{2a+b＜4}\end{array}\right.$，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：幾何意義表示為動點Q（a，b）到定點P（-2，-2）點的斜率的取值范圍．
由題意知A（0，4），B（2，0），
所以AP的斜率為$\frac{4-（-2）}{0-（-2）}$=3，
BP的斜率為$\frac{0-（-2）}{2-（-2）}$=$\frac{1}{2}$，
所以則k=$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，3）
故答案為：（$\frac{1}{2}$，3）

點評 本題主要考查了導數(shù)的應用，直線的斜率以及簡單的線性規(guī)劃問題，涉及的知識點較多，綜合性較強．