Question

16．設(shè)f（x）=|x-1|-|x-2|，若不等式f（x）＜ax的解集包含區(qū)間（-1，3）．
（1）求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取得最大值時(shí)，若正數(shù)x、y、z滿足x+y+z=a，求$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
（1）求出a的值，結(jié)合柯西不等式進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）設(shè)g（x）=ax，
則f（x）=|x-1|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x≥2}\\{2x-3，}&{1＜x＜2}\\{-1，}&{x≤1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，
要使不等式f（x）＜ax的解集包含區(qū)間（-1，3）．
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（2）≥1}\\{g（-1）≥-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a≥1}\\{-a≥-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥\frac{1}{2}}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$≤a≤1．
（2）當(dāng)a取得最大值時(shí)，即a=1時(shí)，正數(shù)x、y、z滿足x+y+z=a=1，
則（$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$）（1+x+1+y+1+z）≥（1+1+1）²=9，
當(dāng)且僅當(dāng)1+x=1+y=1+z，即x=y=z=$\frac{1}{3}$時(shí)，取等號(hào)，
即4（$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$）≥9，
則$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$≥$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．