Question

8．把一個(gè)周長為12cm的長方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的高為2cm．

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，根據(jù)側(cè)面展開圖的周長得出r與h的關(guān)系，得出圓柱的體積關(guān)于半徑的函數(shù)V（r），使用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系求出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而求出圓柱的高．

解答 解；設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則2•（2πr+h）=12，
∴h=6-2πr．
∵h(yuǎn)＞0，r＞0，
∴0＜r＜$\frac{3}{π}$．
∴圓柱的體積V（r）=πr²h=πr²（6-2πr）=6πr²-2π²r³．
∴V′（r）=12πr-6π²r²，
令V′（r）=0，解得r=$\frac{2}{π}$或r=0（舍）．
當(dāng)0$＜r＜\frac{2}{π}$時(shí)，V′（r）＞0，當(dāng)$\frac{2}{π}＜r＜\frac{3}{π}$時(shí)，V′（r）＜0，
∴當(dāng)r=$\frac{2}{π}$時(shí)，圓柱體積最大，此時(shí)h=6-2πr=2．
故答案為2．

點(diǎn)評 本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，體積公式，函數(shù)的最大值，屬于中檔題．