【題目】如圖,已知梯形中,,,四邊形為矩形,,平面平面

Ⅰ)求證:平面

Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;

Ⅲ)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.

【答案】(I)見解析(II)(III)

【解析】試題

Ⅰ)取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系,由題意可得平面的法向量,,據(jù)此有,平面

由題意可得平面的法向量結(jié)合()的結(jié)論可得,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為

Ⅲ)設(shè),而平面的法向量,據(jù)此可得,解方程有據(jù)此計算可得

試題解析:

Ⅰ)取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系,如圖,則,,,,

設(shè)平面的法向量不妨設(shè),又,

,,又∵平面,平面

,設(shè)平面的法向量

不妨設(shè),,

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為

Ⅲ)設(shè) ,

,又∵平面的法向量

,,

時,,;當時,,

綜上,

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校在學年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動,投票規(guī)則是一人一票,高一(1)班44名學生和高一(7)班45名學生的投票結(jié)果如下表(無廢票):

語文

數(shù)學

外語

物理

化學

生物

政治

歷史

地理

高一(1)班

6

9

7

5

4

5

3

3

2

高一(7)班

6

4

5

6

5

2

3

該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本,把兩個班同一學科的得票之和定義為該年級該學科的“好感指數(shù)”.

(Ⅰ)如果數(shù)學學科的“好感指數(shù)”比高一年級其他文化課都高,求的所有取值;

(Ⅱ)從高一(1)班投票給政治、歷史、地理的學生中任意選取位同學,設(shè)隨機變量為投票給地理學科的人數(shù),求的分布列和期望;

(Ⅲ)當為何值時,高一年級的語文、數(shù)學、外語三科的“好感指數(shù)”的方差最小?(結(jié)論不要求證明)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】[選修4―4:坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.

(1)寫出C的普通方程;

(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)l3ρ(cosθ+sinθ) =0,Ml3C的交點,求M的極徑.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長均為2, 分別為的中點.

(1)證明: 平面;

(2)求點到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在菱形中,,平面,是線段的中點,.

(1)證明:平面

(2)求多面體的表面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)對現(xiàn)有設(shè)備進行了改造,為了了解設(shè)備改造后的效果,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測其質(zhì)量指標值,若質(zhì)量指標值在內(nèi),則該產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品.圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.

(1)完成列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設(shè)備改造有關(guān):

設(shè)備改造前

設(shè)備改造后

合計

合格品

不合格品

合計

(2)根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進行比較;

(3)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,根據(jù)客戶需求對合格品進行等級細分,質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品,每件售價180元;質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為二等品,每件售價150元;其他的合格品定為三等品,每件售價120元.根據(jù)頻數(shù)分布表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品,設(shè)其支付的費用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望.

附:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”!疤旄伞币浴凹住弊珠_始,“地支”以“子”字開始,兩者按干支順序相配,組成了干支紀年法,其相配順序為:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸未,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到60個組合,稱六十甲子,周而復(fù)始,無窮無盡。2019年是“干支紀年法”中的己亥年,那么2026年是“干支紀年法”中的

A. 甲辰年B. 乙巳年C. 丙午年D. 丁未年

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,已知點,的坐標分別為,.直線相交于點,且它們的斜率之積是.記點的軌跡為

Ⅰ)求的方程.

Ⅱ)已知直線,分別交直線于點,軌跡在點處的切線與線段交于點,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球,從中隨機抽樣100個進行檢查,測得每個球的直徑(單位:mm),將數(shù)據(jù)分組如下:

分組

頻數(shù)

頻率

[3995,3997

10


[3997,3999

20


[3999,4001

50


[4001,4003]

20


合計

100


)請在上表中補充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù)),并在圖中畫出頻率分布直方圖;

)若以上述頻率作為概率,已知標準乒乓球的直徑為4000 mm,試求這批球的直徑誤差不超過003 mm的概率;

)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間[3999,4001)的中點值是4000作為代表.據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

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