Question

10．已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圓C：（x-1）²+（y-1）²=25．
（1）求證：直線l過定點；
（2）當(dāng)m為何值時，直線l被圓C截得的弦最短．

Answer 1

分析 （1）把直線l的方程整理成m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，由于m的任意性，有$\left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，解此方程組，得直線l過定點；
（2）當(dāng)直線l與DC垂直時，被截得的弦最短，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：把直線l的方程整理成m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
由于m的任意性，有$\left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，解此方程組，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$，
所以直線l恒過定點D（3，1）；
（2）解：當(dāng)直線l與DC垂直時，被截得的弦最短，
此時，直線l與DC的斜率k_l•k_CD=-1，
由直線l的方程得${k_l}=-\frac{2m+1}{m+1}$，由點C、D的坐標(biāo)得${k_{CD}}=\frac{2-1}{1-3}=-\frac{1}{2}$
∴$（{-\frac{2m+1}{m+1}}）•（{-\frac{1}{2}}）=-1$，解得$m=-\frac{3}{4}$，
所以，當(dāng)$m=-\frac{3}{4}$時，直線l被圓C截得的弦最短．

點評 本題考查直線過定點的證明，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．