Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CD上．
（1）求證：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中點，求EB₁與平面AD₁E所成的角；
（3）設M在BB₁上，且，是否存在點E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：以D為坐標原點，DA，DC，DD₁依次為x軸、y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，
并設正方體棱長為1，設點E的坐標為E（0，t，0）
（1），
∵，
∴EB₁⊥AD₁
（2）當E是CD中點時，
，，
設平面AD₁E的一個法向量是=（x，y，z），
則由，
得一組解是，
又，由cosθ==，
從而直線EB₁與平面AD₁E所成的角的正弦值是
（3）設存在符合題意的E點為E（0，t，0）可得平面AD₁E的一個法向量是，
平面AME的一個法向量是
∵平面AD₁E⊥平面AME，
∴=0，
解得t=或t=2（舍），
故當點E是CD的中點時，平面AD₁E⊥平面AME
分析：（1）建立坐標系，設出正方體的棱長，設出E點的坐標，寫出要證的兩條線段對應的坐標，求兩個向量的數(shù)量積，得到兩個向量的數(shù)量積為0，得到對應的兩條直線垂直．
（2）設出平面AD₁E的一個法向量，利用這個法向量與平面上的兩個不共線的向量的數(shù)量積為0，求出一個法向量，直線與平面所成的角，通過兩條直線所成的角得到，注意得到的是線面角的正弦值．
（3）假設存在符合條件的點，得到平面的一個法向量，根據(jù)兩個平面垂直，得到對應的兩個平面的法向量的數(shù)量積是0，得到關(guān)于t的方程，解方程即可，舍去不合題意的結(jié)果．
點評：本題考查利用空間向量的知識解決立體幾何的問題，這種題目是每一年高考卷中必出的一種題目，本題只要注意在第二問中線面角的正弦值等于兩個向量的夾角的余弦值就不會出錯．