Question

1．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-6y≤3}\\{x+2y≤3}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則x-2y的取值范圍是[-3，$\frac{9}{5}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．

解答 解：設z=x-2y，則y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由圖象可知當直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，過點A（0，$\frac{3}{2}$）時，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此時z最小，
此時z=-2×$\frac{3}{2}$=-3，
直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，過點B時，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-6y=3}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$．，即B（$\frac{12}{5}$，$\frac{3}{10}$）．
代入目標函數(shù)z=x-2y，
得z=$\frac{12}{5}$-2×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{5}$．
∴目標函數(shù)z=x-2y的最小值是$\frac{9}{5}$．
即-3≤z≤$\frac{9}{5}$，
故答案為：[-3，$\frac{9}{5}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．