Question

13．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a的最大值為1
（1）求出實數(shù)a的值，并指出當x取何值時，f（x）取最大值1
（2）若方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍及兩個實數(shù)解的和．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）的最大值為1求出a的值，再求出f（x）取最大值時x的值；
（2）畫出函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的圖象，結合圖象求出方程f（x）=m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上
有兩個不同的實數(shù)解時m的取值范圍以及這兩個實數(shù)根的和．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x+a
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+a
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，
又f（x）的最大值為1，
得2+a=1，
解得a=-1；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1；
令sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，
即2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
此時f（x）取最大值1；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1∈[$\sqrt{3}$-1，1]；
函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的圖象如圖所示：

要使方程f（x）=m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的實數(shù)解，
則$\sqrt{3}$-1≤m＜2；
設函數(shù)f（x）=m的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，
且x₁、x₂關于x=$\frac{π}{12}$對稱，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{12}$×2=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了利用函數(shù)的圖象解答方程f（x）=m根的問題，是綜合性題目．