Question

1．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M（3，t）到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)T（-2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E，使得△EAB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義即可求出，
（Ⅱ）先把直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，得到關(guān)于A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式再利用$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$=0，找到k的取值范圍．（注意檢驗(yàn)是否滿足判別式）

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px，
∴拋物線焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵點(diǎn)M（3，m）到其焦點(diǎn)的距離為5，
∴3+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x，
（2）設(shè)T（-2，0）的直線l的斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x+2），
設(shè)E的坐標(biāo)為（t，0），（t＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，消y得到k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∴△=（4k²-8）2-4k²•4k²＞0，且k≠0，
∴-1＜k＜1，且k≠0
∴x₁+x₂=$\frac{8}{{k}^{2}}$-4，x₁x₂=4，
∵y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴y₁²y₂²=64x₁x₂=16²，
∴y₁•y₂=16，
∵$\overrightarrow{EA}$=（x₁-t，y₁），$\overrightarrow{EB}$=（x₂-t，y₂），
∴$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂=20-t（$\frac{8}{{k}^{2}}$-4）+t²，
∵△EAB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角，
∴$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$=0，
∴20-t（$\frac{8}{{k}^{2}}$-4）+t²=0，
∴△=（$\frac{8}{{k}^{2}}$-4）²-4×20≥0，
∴k²≤$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}$，且k≠0
故直線l的斜率的取值范圍為[-$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的應(yīng)用以及直線間的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化能力，解決問(wèn)題的問(wèn)題，屬于中檔題．