Question

11．將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD=2，則三棱錐D-ABC的體積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)，連結(jié)OB，OD，求出OB，OD，利用勾股定理的逆定理得出OB⊥OD，結(jié)合OD⊥AC得出OD⊥平面ABC，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 解：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OD，
∵AD=CD=2，∠ADC=90°，
∴AC=2$\sqrt{2}$，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，OD⊥AC．
同理OB=$\sqrt{2}$，
∵BD=2，
∴OD²+OB²=BD²，∴OB⊥OD，
又AC?平面ABC，OB?平面ABC，AC∩OB=O，
∴OD⊥平面ABC，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．