16.已知A,B是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)C在該橢圓上,在△ABC中,tanA=$\frac{2}{3}$,tanB=$\frac{3}{8}$,則該橢圓的離心率為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\sqrt{3}-1$C.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

分析 設(shè)A(-a,0),B(a,0),C(m,n),(m>0,n>0),運(yùn)用直線的斜率公式,求出直線CA,CB的斜率,解得C的坐標(biāo),代入橢圓方程,可得a=2b,由a,b,c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:設(shè)A(-a,0),B(a,0),C(m,n),(m>0,n>0),
由△ABC中,tanA=$\frac{2}{3}$,tanB=$\frac{3}{8}$,
可得直線CA的斜率為$\frac{n}{m+a}$=$\frac{2}{3}$,
直線CB的斜率為$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{3}{8}$,
解得m=$\frac{7}{25}$a,n=$\frac{12}{25}$a,
將C($\frac{7}{25}$a,$\frac{12}{25}$a)代入橢圓方程,可得:
$\frac{49{a}^{2}}{625{a}^{2}}$+$\frac{144{a}^{2}}{625^{2}}$=1,
化簡(jiǎn)可得a=2b,即b=$\frac{1}{2}$a,
可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法,注意運(yùn)用直線的斜率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面EAC;
(2)求證:AE⊥平面PCD;
(3)若直線AC與平面PCD所成的角為30°,求三棱錐D-AEC的體積.

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7.如圖,已知拋物線C以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,且|OF|=$\frac{1}{2}$.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過定點(diǎn)N(x0,y0)的動(dòng)直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B異于點(diǎn)O),設(shè)OA、OB的傾斜角分別為α、β,若α+β(α+β∈(0,π))為定值,求x0的值.

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4.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$(x+$\frac{1}{x}$),g(x)=$\frac{1}{2}$(x-$\frac{1}{x}$).
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)+2g(x)的零點(diǎn);
(2)求函數(shù)F(x)=[f(x)]2n-[g(x)]2n(n∈N*)的最小值.

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11.已知橢圓C:$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)若橢圓C與直線y=x+m交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=$\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$,求m的值;
(Ⅲ)若點(diǎn)A(x1,y1)與點(diǎn)P(x2,y2)在橢圓C上,且點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)P在第二象限,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求證:當(dāng)x12+x22=4時(shí),三角形△PAB的面積為定值.

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1.已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M(3,t)到焦點(diǎn)的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)T(-2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若在x軸上存在一點(diǎn)E,使得△EAB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求直線l的斜率的取值范圍.

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8.2015年,威海智慧公交建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成.為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度,分別從不同公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分(滿分100分),繪制如下頻率分布直方圖,并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí):
滿意度評(píng)分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分
滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意
已知滿意度等級(jí)為基本滿意的有680人.
(I)求等級(jí)為非常滿意的人數(shù):
(Ⅱ)現(xiàn)從等級(jí)為不滿意市民中按評(píng)分分層抽取6人了解不滿意的原因,并從中選取3人擔(dān)任整改監(jiān)督員,求3人中恰有1人評(píng)分在[40,50)的概率;
(Ⅲ)相關(guān)部門對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收,驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是:市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于0.8,否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改,根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收,并說明理由.(注:滿意指數(shù)=$\frac{滿意程度的平均分}{100}$)

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5.某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫x(℃)與該奶茶店的這種飲料銷量y(杯)得到如下數(shù)據(jù)
日期11日12日13日14日15日
平均氣溫x(℃)91012118
銷量y(杯)2325302621
(1)若先從這5組數(shù)據(jù)中抽取2組,列出所有可能的結(jié)果并求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)請(qǐng)根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$,并根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)當(dāng)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)1月16日的白天氣溫為7℃時(shí)奶茶店這種飲料的銷量(結(jié)果四舍五入).
附:線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})=\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$為樣本平均值.

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6.已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)M($\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{5}}{4}$)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于點(diǎn)N(點(diǎn)N在第一象限),E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果kEN+KFN=0,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.

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