Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上$[{-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再來(lái)一弄正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在區(qū)間上$[{-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}}]$的值域．

解答 解：（1）依題意，$f（x）=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}=sin2x-cos2x+2=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）+2$，
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，則$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ（{k∈Z}）$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為 $[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]（{k∈Z}）$．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，
得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]+2-2=）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
∵$-\frac{π}{6}≤x≤-\frac{π}{12}$，故$-\frac{π}{3}≤2x≤-\frac{π}{6}$；故$-\frac{π}{12}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{12}$，根據(jù)函數(shù)y=sinx的性質(zhì)，
當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得的最小值$\sqrt{2}sin（{-\frac{π}{12}}）=\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$；
當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得的最大值$\sqrt{2}sin\frac{π}{12}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}}]$上的值域?yàn)?[{\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．