Question

3．已知雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$與點(diǎn)M（5，3），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若雙曲線上有一點(diǎn)P，則$PM+\frac{1}{2}PF$的最小值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：雙曲線的第二定義可知：$\frac{丨PF丨}{丨PN丨}$=e，可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨，丨PN丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線時(shí)丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨時(shí)取最小值，代入求得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值為丨MN丨=$\frac{7}{2}$．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$，焦點(diǎn)在x軸上，a=3，b=3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=6，
由雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=2，右準(zhǔn)線為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{3}{2}$，
作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，則
由雙曲線的第二定義可知：$\frac{丨PF丨}{丨PN丨}$=e，可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨，
∴丨PN丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，
因此丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨，
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線時(shí)丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨時(shí)取最小值，
此時(shí)，在雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$中，令y=3，解得：x=±2$\sqrt{3}$，
∴x＞0，
∴取x=2$\sqrt{3}$，
即當(dāng)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，3）時(shí)丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值為丨MN丨=$\frac{7}{2}$．
丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值為$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題