Question

3．如果曲線2|x|-y-4=0的圖象與曲線C：x²+λy²=4恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]
• B． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• C． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[0，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 去絕對(duì)值可得x≥0時(shí)，y=2x-4；當(dāng)x＜0時(shí)，y=-2x-4，數(shù)形結(jié)合可得曲線必相交于（±2，0），分別聯(lián)立方程結(jié)合一元二次方程根的分布可得．

解答 解：由2|x|-y-4=0可得y=2|x|-4，
當(dāng)x≥0時(shí)，y=2x-4；當(dāng)x＜0時(shí)，y=-2x-4，
∴函數(shù)y=2|x|-4的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0）
∴為了使函數(shù)y=2|x|-4的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
則y=2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²-16λx+16λ-4=0，
當(dāng)λ=-$\frac{1}{4}$時(shí)，x=2滿足題意，由于△＞0，2是方程的根，∴$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$時(shí)，方程兩根異號(hào)，滿足題意；
y=-2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²+16λx+16λ-4=0
當(dāng)λ=-$\frac{1}{4}$時(shí)，x=-2滿足題意，由于△＞0，-1是方程的根，$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$時(shí)，方程兩根異號(hào)，滿足題意；
綜上知，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和不等式的解法以及數(shù)形結(jié)合，屬中檔題．