Question

20．函數(shù)f（x）=ax^m（1-x）ⁿ在區(qū)間[0，1]上的圖象如圖所示，則m，n的值可能是②．（填序號(hào)）
①m=1，n=1；
②m=1，n=2；
③m=2，n=1；
④m=3，n=1．

Answer 1

分析 由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5．把答案代入驗(yàn)證看哪個(gè)對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)符合要求即可得出答案．

解答 解：由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5．
當(dāng)m=1，n=1時(shí)，f（x）=ax（1-x）=-a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{a}{4}$．在x=$\frac{1}{2}$處有最值，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f′（x）=a（3x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{3}$，x=1，即函數(shù)在x=$\frac{1}{3}$處有最值，故②正確；
當(dāng)m=2，n=1時(shí)，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax²（1-x）=a（x²-x³），有f'（x）=a（2x-3x²）=ax（2-3x），令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{2}{3}$，即函數(shù)在x=$\frac{2}{3}$處有最值，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)m=3，n=1時(shí)，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax³（1-x）=a（x³-x⁴），有f′（x）=ax²（3-4x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{4}$，即函數(shù)在x=$\frac{3}{4}$處有最值，故④錯(cuò)誤．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．本本題考查利用極值求對(duì)應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．