Question

20．函數(shù)f（x）=ax^m（1-x）ⁿ在區(qū)間[0，1]上的圖象如圖所示，則m，n的值可能是②．（填序號）
①m=1，n=1；
②m=1，n=2；
③m=2，n=1；
④m=3，n=1．

Answer 1

分析 由圖得，原函數(shù)的極大值點小于0.5．把答案代入驗證看哪個對應(yīng)的極值點符合要求即可得出答案．

解答 解：由圖得，原函數(shù)的極大值點小于0.5．
當(dāng)m=1，n=1時，f（x）=ax（1-x）=-a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{a}{4}$．在x=$\frac{1}{2}$處有最值，故①錯誤；
當(dāng)m=1，n=2時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f′（x）=a（3x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{3}$，x=1，即函數(shù)在x=$\frac{1}{3}$處有最值，故②正確；
當(dāng)m=2，n=1時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax²（1-x）=a（x²-x³），有f'（x）=a（2x-3x²）=ax（2-3x），令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{2}{3}$，即函數(shù)在x=$\frac{2}{3}$處有最值，故③錯誤；
當(dāng)m=3，n=1時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax³（1-x）=a（x³-x⁴），有f′（x）=ax²（3-4x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{4}$，即函數(shù)在x=$\frac{3}{4}$處有最值，故④錯誤．
故答案為：②．

點評 本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．本本題考查利用極值求對應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點．