Question

9．已知m為常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx-mx²有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），則f（x₁）[2f（x₂）+1]的符號為（　　）

• A． 負(fù)
• B． 正
• C． 零
• D． 不確定

Answer 1

分析 依題意：f′（x）=0 有兩個不等實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），求出導(dǎo)數(shù)，討論m 的范圍，求得函數(shù)m（x）的單調(diào)性，得到函數(shù)f（x）在x₁處取極小值，在x₂處取極大值，從而求出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=xlnx-mx²有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，（x₁＜x₂），
當(dāng)m=0時，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，
解得x=$\frac{1}{e}$，∴f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
當(dāng)m≠0時，f′（x）=lnx-2mx+1=0，
m=$\frac{lnx+1}{2x}$，
設(shè)m（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，
令m′（x）=-$\frac{2lnx}{{4x}^{2}}$=0，解得：x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，m′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，m′（x）＜0，
∴m（x）在x=1處取極大值$\frac{1}{2}$，
又∵x→+∞時，m（x）→0
∴當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）=lnx-2mx+1=0必存在二個解
即函數(shù)f（x）有兩個極值x₁，x₂，（x₁＜x₂），
當(dāng)0＜x＜x₁或x＞x₂時，f′（x）＜0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在x₁處取極小值，在x₂處取極大值，
又∵當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，f′（x）=lnx-x+1=0，∴x=1，f（1）=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m=0時，f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取極小值f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）時，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-$\frac{1}{2}$，
故f（x₁）[2f（x₂）+1]的符號為負(fù)，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．