Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、CC₁的中點．
（1）求證：AE∥平面BFD₁．
（2）設正方體棱長為1，求三棱錐C₁-D₁BF的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可證四邊形ABFE為平行四邊形，得AE∥BF，然后由線面平行的判斷得答案；
（2）直接利用等積法求三棱錐C₁-D₁BF的體積．

解答 （1）證明：如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接EF，
∵E、F分別為DD₁、CC₁的中點，∴EF∥CD，EF=CD，
又CD∥AB，CD=AB，
∴EF∥AB，EF=AB，則四邊形ABFE為平行四邊形，
∴AE∥BF，
又AE?平面BFD₁，BF?平面BFD₁，
∴AE∥平面BFD₁ ；
（2）解：∵BC⊥平面C₁D₁F，且正方體棱長為1，
∴${V}_{{C}_{1}-{D}_{1}BF}={V}_{B-{C}_{1}{D}_{1}F}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判斷，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．