Question

1．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，滿足a₁=3，a₄=24，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，滿足b₂=4，b₄=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n-b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比數(shù)列的性質(zhì)，a₄=a₁•q³，即可求得q的值，即可求得數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項公式，求得a₃，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，求得公差d，即可求得{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即可求得數(shù)列{c_n}的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列前n項和公式，即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意，得${q^3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{24}{3}=8$，…（2分）
解得：q=2．…（3分）
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=3×{2^{n-1}}（n=1，2，…）$．…（4分）
∴a₃=12．…（5分）
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵b₂=4，b₄=12，
∵b₄=b₂+2d，
∴12=4+2d，
解得：d=4，
∴b_n=b₂+（n-2）d=4+（n-2）×4=4n-4，
b_n=4n-4．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_n}=3×{2^{n-1}}$，b_n=4n-4，
因此${c_n}={a_n}-{b_n}=3×{2^{n-1}}-（4n-4）$．
從而數(shù)列{c_n}的前n項和${S_n}=3+6+…+3×{2^{n-1}}-[0+4+8+…+（4n-4）]$…（9分）
=$3×\frac{{1-{2^n}}}{1-2}-\frac{n（4n-4）}{2}$…（11分）
=3×2ⁿ-3-n（2n-2）…（12分）
=3×2ⁿ-3-2n²+2n．…（13分）

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，考查數(shù)列前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．