如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面對角線B1D1的中點.
(1)求證:AO∥平面BDC1;
(2)求證:A1C⊥平面BDC1
考點:直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題:證明題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)如圖所示,連接AC,BD交于G點,連接OC1,GC1,由OC1
.
AG,可得OA∥GC1,從而可證OA∥平面C1BD.
(2)連接AC,交BD于O,則BD⊥AC,結(jié)合A1A⊥BD,由線面垂直的判定定理得BD⊥平面A1AC,進(jìn)而BD⊥A1C,連接C1O,可證得A1C⊥C1O,再利用線面垂直的判定定理即可得到A1C⊥平面C1BD;
解答: 證明:(1)如圖所示,連接AC,BD交于G點,連接OC1,GC1
∴在正方體ABCD-A1B1C1D1中,OC1
.
AG,四邊形OC1AG為平行四邊形,
∴OA∥GC1,
又GC1?平面C1BD,OA?平面C1BD,∴OA∥平面C1BD.…(2分)

(2)連接AC,交BD于O,則BD⊥AC.
又A1A⊥BD,∴BD⊥平面A1AC.
∵A1C?平面A1AC,BD⊥A1C.
連接C1O,在矩形A1C1CA中,設(shè)A1C交C1O于M.
A1A
AC
=
OC
CC1
,知∠ACA1=∠CC1O.
∴∠C1OC+A1CO=∠C1OC+∠CC1O=
π
2
,∴∠CMO=
π
2
,
∴A1C⊥C1O.
又CO∩BD=0,CO?平面C1BD,BD?平面C1BD,
∴A1C⊥平面C1BD.…(7分)
點評:直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.
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B、
C、
D、

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A、(0,3)
B、(1,3)
C、(1,+∞)
D、[
3
2
,3)

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