Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，△ABC是邊長為2的正三角形，且BD=2，AE=1，F(xiàn)為CD中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：EF⊥平面BCD；
（3）求二面角C-DE-B的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC中點O，連接OF，可證四邊形EAOF是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）連接BF，由EF²+BF²=BE²得到BF⊥EF，又EF⊥CD，則線面垂直的判斷定理證明．
（3）過C作CK⊥DE于K，連接KH．由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC為二面角C-DE-B的平面角．進而可求面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值．

解答： 解：（1）證明：取BC中點O，連接OF，
∵F是CD中點，O為CB中點，∴OF∥DB且OF=

1

2

DB，
又BD∥AE且AE=

1

2

BD，
∴OF∥AE，OF=AE，
∴四邊形EAOF是平行四邊形，
∴OA∥FE，
又∵OA?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．

（2）連接BF，∵AE=1，則AB=BC=AC=BD=2，
于是 CE=ED=

5

，CD=2

2

，
所以 EF=

3

，BF=

2

，BE=

5

，
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD為兩條相交直線，
故EF⊥平面BCD．
（III）過C作CK⊥DE于K，連接KH．
由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC為二面角C-DE-B的平面角．
易知EC=

5

，DE=

5

，CD=2

2

．
由S_△DCE=

1

2

×2

2

×

3

=

1

2

×

5

CK，可得CK=

2 30

5

．
在Rt△CHK中，sin∠HKC=

CH

CK

=

10

4

，所以cos∠HKC=

6

4

，
所以面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值為

6

4

．

點評：考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．是中檔題．