Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣ ax2（a∈R）．
（1）當(dāng)a≤1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f′（x）的圖象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的圖象上方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）

當(dāng)a≤0時(shí)，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，令f'（x）=0得x=0或x=lna．

（i） 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（lna，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

（ii） 當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，lna）和（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（lna，0）；

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，+∞），無(wú)減區(qū)間．

（2）解：由（1）知f'（x）=xex﹣ax

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方；

即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；

即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；

記 g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），

∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；

（i） 當(dāng) 時(shí)，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g'（x）＞g'（0）=0；

∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

∴g（x）＞g（0）=0，符合題意；

（ii） 當(dāng) 時(shí)，令h'（x）=0得x=ln（2a）；

∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，h'（x）＜0，

∴g'（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減；

∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，g'（x）＜g'（0）=0；

∴g（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減，

∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，g（x）＜g（0）=0，不符合題意；

綜上可得a的取值范圍是

【解析】（1）首先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分類討論a的大小來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用轉(zhuǎn)化思想：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．