Question

6．某工廠生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的童車，每種童車都要經(jīng)過(guò)機(jī)械、油漆和裝配三個(gè)車間進(jìn)行加工，根據(jù)該廠現(xiàn)有的設(shè)備和勞動(dòng)力等條件，可以確定各車間每日的生產(chǎn)能力，我們把它們拆合成有效工時(shí)來(lái)表示．現(xiàn)將各車間每日可利用的有效工時(shí)數(shù)、每輛童車的各個(gè)車間加工時(shí)所花費(fèi)的工時(shí)數(shù)以及每輛童車可獲得的利潤(rùn)情況列成如表：

車間	每輛童車所需的加工工時(shí)		有效工時(shí)（小時(shí)/日）
	A	B
機(jī)械	0.8	1.2	40
油漆	0.6	0.8	30
裝配	0.4	0.6	25
利潤(rùn)（元/輛）	6	10

試問這兩種型號(hào)的童車每日生產(chǎn)多少輛，才能使工廠所獲得的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析 設(shè)x，y（單位輛）分別是A，B兩種型號(hào)童車的日生產(chǎn)量，工廠每日可獲得利潤(rùn)為z元，寫出約束條件、目標(biāo)函數(shù)，欲求利潤(rùn)最大，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．注意：最后要將所求最優(yōu)解還原為實(shí)際問題．

解答 解：設(shè)x，y（單位輛）分別是A，B兩種型號(hào)童車的日生產(chǎn)量，工廠每日可獲得利潤(rùn)為z元，則z=6x+10y，其中x，y滿足約束條件：…（1分）
$\left\{\begin{array}{l}{0.8x+1.2y≤40}\\{0.6x+0.8y≤30}\\{0.4x+0.6y≤25}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤100}\\{3x+4y≤150}\\{2x+3y≤125}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，…（4分）
作出可行域如圖：

…（7分）
將z=6x+10y化成直線l：y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{10}$z，當(dāng)z變化時(shí)，直線l的斜率為-$\frac{3}{5}$，在y軸上的截距為$\frac{1}{10}$z的一簇平行直線，
當(dāng)直線在y軸上的截距最大時(shí)z取最大值．
由圖易知，直線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，z取最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2x+3y=100}\end{array}\right.$得A（0，$\frac{100}{3}$）…（9分）
由于A點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，在可行域的整數(shù)點(diǎn)中，（2，32）是最優(yōu)解．
此時(shí)z_max=322（元）…（11分）
答：生產(chǎn)A種童車2輛，B種童車32輛，能使工廠獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為332元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現(xiàn)實(shí)問題中．