Question

14．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如表：（單位/人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能事?lián)�此判斷�?7.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生（其中包括甲、乙兩人）中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩人被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)得K²≈5.556＞5.024，從而根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值：
${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$．
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)…（6分）
（2）X的所有可能取值為0，1，2，
$P（{X=0}）=\frac{C_6^2}{C_8^2}=\frac{15}{28}，P（{X=1}）=\frac{C_6^1C_2^1}{C_8^2}=\frac{3}{7}，P（{X=2}）=\frac{C_2^2}{C_8^2}=\frac{1}{28}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

所以$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．