Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數(shù)列，且b=1，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，由余弦定理列出關(guān)系式，把b=1，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形ABC的面積．

解答 解：∵A、B、C成等差數(shù)列，A+B+C=π，
∴2B=A+C，即B=$\frac{π}{3}$，
∵b=1，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴在△ABC中，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=1，
整理得：1=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時最大值，
則△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．