Question

17．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-3．g（x）=x+lnx．其中a＞0，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）
（1）若x=$\frac{1}{2}$是函數(shù)y=F（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到F′（$\frac{1}{2}$）=4-4a²=0，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=-x²+3x的圖象與直線y=a²在[1，2]上有2個交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：F（x）=2x+$\frac{{a}^{2}}{x}$+lnx-3，F(xiàn)′（x）=2-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
（1）∵x=$\frac{1}{2}$是函數(shù)y=F（x）的極值點(diǎn)，
∴F′（$\frac{1}{2}$）=4-4a²=0（a＞0），解得：a=1；
（2）∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上有兩個零點(diǎn)，
∴方程a²=-x²+3x在[1，2]上有2個不等實(shí)根，
即函數(shù)y=-x²+3x的圖象與直線y=a²在[1，2]上有2個交點(diǎn)，
∵函數(shù)y=-x²+3x=-${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$在[1，2]上的值域是[2，$\frac{9}{4}$]，
∴2≤a²＜$\frac{9}{4}$（a＞0），解得：$\sqrt{2}$≤a＜$\frac{3}{2}$，
故實(shí)數(shù)a的范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．