Question

12．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1桶甲產(chǎn)品需耗A原料3千克，B原料1千克，生產(chǎn)1桶乙產(chǎn)品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生產(chǎn)一桶甲產(chǎn)品的利潤為400元，每生產(chǎn)一桶乙產(chǎn)品的利潤為300元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，每天消耗A、B原料都不超過12千克．設(shè)公司計劃每天生產(chǎn)x桶甲產(chǎn)品和y桶乙產(chǎn)品．
（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式；
（Ⅱ）該公司每天需生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少桶時才使所得利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題設(shè)中的條件可設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，根據(jù)題設(shè)條件得出線性約束條件；
（Ⅱ）利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可得到目標(biāo)函數(shù)利潤的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，
則x，y滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≤12}\\{x+3y≤12}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$…（3分）
該二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（可行域）如圖…（7分）
（Ⅱ）設(shè)利潤總額為z元，則目標(biāo)函數(shù)為：z=400x+300y．  …（8分）
如圖，作直線l：400x+300y=0，即4x+3y=0．
當(dāng)直線y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{z}{300}$經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時，截距$\frac{z}{300}$最大，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=12}\\{x+3y=12}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），…（11分）
代入目標(biāo)函數(shù)得z_max=2100． …（12分）
答：該公司每天需生產(chǎn)甲產(chǎn)品3桶，乙產(chǎn)品3桶才使所得利潤最大，最大利潤為2100元．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題中的最值問題，基本思路是抽象約束條件，作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的類型，找到最優(yōu)解．屬中檔題．