Question

19．在邊長為2的正方形ABCD中，動點M和N分別在邊BC和CD上，且$\overrightarrow{BM}$=$λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{4λ+1}$$\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$的最小值為-1．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，求出$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$關(guān)于λ的函數(shù)，利用基本不等式得出最小值．

解答 解：以CB，CD為坐標軸建立平面直角坐標系如圖：
則A（2，2），B（2，0），M（2-2λ，0），N（0，2-$\frac{2}{4λ+1}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（-2λ，-2），$\overrightarrow{BN}$=（-2，$\frac{8λ}{4λ+1}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=4λ-$\frac{16λ}{4λ+1}$=4λ+1+$\frac{4}{4λ+1}$-5$≥2\sqrt{4}$-5=-1．
當(dāng)且僅當(dāng)4λ+1=$\frac{4}{4λ+1}$即λ=$\frac{1}{4}$時取等號．
故答案為：-1．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立平面直角坐標系可簡化計算．