Question

【題目】如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，

（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）求cos∠COD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l，則

∵AB∥CD，AB平面PCD，∴AB∥平面PCD

∵AB面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，∴AB∥l

∵AB在底面上，l在底面外

∴l(xiāng)與底面平行；

（2）解：設(shè)CD的中點為F，連接OF，PF

由圓的性質(zhì)，∠COD=2∠COF，OF⊥CD

∵OP⊥底面，CD底面，∴OP⊥CD

∵OP∩OF=O

∴CD⊥平面OPF

∵CD平面PCD

∴平面OPF⊥平面PCD

∴直線OP在平面PCD上的射影為直線PF

∴∠OPF為OP與平面PCD所成的角

由題設(shè)，∠OPF=60°

設(shè)OP=h，則OF=OPtan∠OPF=

∵∠OCP=22.5°，∴

∵tan45°= =1

∴tan22.5°=

∴OC= =

在Rt△OCF中，cos∠COF= = =

∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12

【解析】（1）利用線面平行的判定與性質(zhì)，可證平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（2）先作出OP與平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的理解，了解直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點．