Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²-3ax+1的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{9}$）∪（$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，得f′（x）=ax²+2ax-3a=a（x+3）（x-1），要使函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則f（-3）f（1）＜0，再進(jìn)一步計(jì)算即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²-3ax+1，
∴f′（x）=ax²+2ax-3a=a（x-1）（x+3），
令f′（x）=0，
解的x=1或x=-3，是函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（-3）是極大值，f（1）是極小值，f（-3）f（1）＜0，當(dāng)a＜0時(shí)，f（-3）是極小值，f（1）是極大值，f（-3）f（1）＜0，
所以，要使函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則f（-3）f（1）＜0，
∵f（-3）=$\frac{1}{3}$a（-3）³+a（-3）²-3a（-3）+1=9a+1，
f（1）=$\frac{1}{3}$a+a-3a+1=1-$\frac{5}{3}$a，
∴（9a+1）（1-$\frac{5}{3}$a）＜0，
即（a+$\frac{1}{9}$）（a-$\frac{3}{5}$）＞0，
解的a＜-$\frac{1}{9}$，或a＞$\frac{3}{5}$
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{9}$）∪（$\frac{3}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，函數(shù)值的變化從而確定其性質(zhì)．