Question

13．如圖所示，45°的二面角的棱上有兩點A，B，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB，已知AC=1，AB=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{2}$，求CD的長．

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的大小，利用向量的數(shù)量積的應用即可求CD的長度．

解答 解：由已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=45°，
∵$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${|{\overrightarrow{CD}}|^2}={（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）^2}={|{\overrightarrow{CA}}|^2}+{|{\overrightarrow{AB}}|^2}+{|{\overrightarrow{BD}}|^2}+2|{\overrightarrow{CA}}||{\overrightarrow{BD}}|cos{135°}$
=$1+3+2-2|{\overrightarrow{AC}}||{\overrightarrow{BD}}|cos{45°}=4$，
∴CD=2

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，結合二面角的大小運用向量法是解決本題的關鍵．