Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4．求：
（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的單調(diào)區(qū)間在[0，3]上的極值及最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0 得x＜-2 或 x＞2
令f′（x）＜0 得-2＜x＜2
所以函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（2，+∞）；
所以函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，2）；
（2）f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=2．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	4	單調(diào)遞減	極小值-$\frac{4}{3}$	單調(diào)遞增	1

∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x^3-4x+4在[0，3]上有極小值且f（x）極小值為-$\frac{4}{3}$；最大值為4，最小值為-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．