Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx，（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[e，e²]是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）有最大值e，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出a=2時，函數(shù)的導數(shù)，求出切線斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導數(shù)，對a討論，當a≤0時，當a＞0時①當0＜a＜e時，②當e≤a≤e²時，③當a＞e²時函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，解方程即可判斷．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=x-2lnx的導數(shù)為f′（x）=1-

2

x

，
則f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1-2=-1，
切點為（1，1），則切線方程為y-1=-（x-1）即為x+y-2=0；
（2）f′（x）=1-

a

x

，
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[e，e²]遞增，
f（x）的最大值為f（e²）=e²-2a=e，解得，a=

e2-e

2

＞0（舍去），
當a＞0時，f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
①當0＜a＜e時，f（x）在[e，e²]遞增，
f（x）的最大值為f（e²）=e²-2a=e，解得，a=

e2-e

2

＞0（符合），
②當e≤a≤e²時，f（x）在（e，a）單調(diào)遞減，在（a，e²）單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為f（e²）=e²-2a=e，解得a=

e2-e

2

＜e（舍去），
或f（x）的最大值為f（e）=e-a=e，解得a=0（舍去），
③當a＞e²時，f（x）在[e，e²]單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（e）=e-a=e，解得a=0（舍去）．
綜上所述，存在實數(shù)a=

e2-e

2

，使得函數(shù)f（x）在x∈[e，e²]有最大值e．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查分類討論的思想方法和運算能力，屬于中檔題．