Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx，（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈[e，e²]是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）有最大值e，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率和切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)①當(dāng)0＜a＜e時(shí)，②當(dāng)e≤a≤e²時(shí)，③當(dāng)a＞e²時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，解方程即可判斷．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x-2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-

2

x

，
則f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1-2=-1，
切點(diǎn)為（1，1），則切線方程為y-1=-（x-1）即為x+y-2=0；
（2）f′（x）=1-

a

x

，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[e，e²]遞增，
f（x）的最大值為f（e²）=e²-2a=e，解得，a=

e2-e

2

＞0（舍去），
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
①當(dāng)0＜a＜e時(shí)，f（x）在[e，e²]遞增，
f（x）的最大值為f（e²）=e²-2a=e，解得，a=

e2-e

2

＞0（符合），
②當(dāng)e≤a≤e²時(shí)，f（x）在（e，a）單調(diào)遞減，在（a，e²）單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為f（e²）=e²-2a=e，解得a=

e2-e

2

＜e（舍去），
或f（x）的最大值為f（e）=e-a=e，解得a=0（舍去），
③當(dāng)a＞e²時(shí)，f（x）在[e，e²]單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（e）=e-a=e，解得a=0（舍去）．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=

e2-e

2

，使得函數(shù)f（x）在x∈[e，e²]有最大值e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算能力，屬于中檔題．