記數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),若存在實常數(shù)A,B,C,對于任意正整數(shù)n,都有an+Sn=An2+Bn+C成立.
(1)已知A=B=0,a1≠0,求證:數(shù)列{an}(n∈N*)是等比數(shù)列;
(2)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,求證:3A+C=B;
(3)已知a1=1,B>0且B≠1,B+C=2.設λ為實數(shù),若?n∈N*,
an
an+1
<λ,求λ的取值范圍.
考點:等比關系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析:(1)由an+Sn=C(n∈N*),an+1+Sn+1=C.得an+1=2an,故數(shù)列{an}(n∈N*)是等比數(shù)列;
(2)令公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式,得到
d
2
n2+(a1+
d
2
)n+a1-d=An2+Bn+C
.問題得以證明
(3)根據(jù)題意到數(shù)列的遞推公式,再分類討論,求出λ的范圍
解答: 解:(1)由A=B=0,得an+Sn=C(n∈N*),①
從而an+1+Sn+1=C. ②…2分
②-①式得an+1=2an,
又a1≠0,所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
(2)由數(shù)列{an}是等差數(shù)列,可令公差為d,則an=a1+(n-1)d,Sn=na1+
n(n-1)
2
d

于是由an+Sn=An2+Bn+C
d
2
n2+(a1+
d
2
)n+a1-d=An2+Bn+C

由正整數(shù)n的任意性得
A=
d
2
B=a1+
d
2
C=a1-d.

從而得3A+C=
3d
2
+a1-d=a1+
d
2
=B

(3)由a1=1,B+C=2,及an+Sn=An2+Bn+C,得2a1=A+B+C,即2=A+B+C,
則有A=0.
于是an+Sn=Bn+(2-B),從而an+1+Sn+1=B(n+1)+(2-B),
相減得2an+1-an=B,an+1-B=
1
2
(an-B)

又a1=1,B≠1,則a1-B≠0,
所以an-B=(a1-B)
1
2n-1
,即an=(1-B)
1
2n-1
+B

于是
an
an+1
=
(1-B)
1
2n-1
+B
(1-B)
1
2n
+B
=1+
1-B
(1-B)+2nB

由B>0且B≠1,下面需分兩種情形來討論.
(i)當0<B<1時,1-B>0,則式子
1-B
(1-B)+2nB
的值隨n的增大而減小,
所以,對?n∈N*
an
an+1
的最大值在n=1時取得,即(
an
an+1
)max═1+
1-B
(1-B)+2nB
=
2
1+B

于是,對于?n∈N*,
an
an+1
2
1+B
,
an
an+1
<λ

λ>
2
1+B

(ii)當B>1時,由(1-B)+2nB≥(1-B)+2B=1+B>0,2nB≥2B>2B-1,
-1<
1-B
(1-B)+2nB
<0

所以,對于?n∈N*,0<
an
an+1
=1+
1-B
(1-B)+2nB
<1
. ①
假設λ<1,則有λ>0,且
an
an+1
=1+
1-B
(1-B)+2nB
<λ
,
2n
(B-1)(2-λ)
(1-λ)B
,即n<log2
(B-1)(2-λ)
(1-λ)B
,
這表明,當n取大于等于log2
(B-1)(2-λ)
(1-λ)B
的正整數(shù)時,
an
an+1
<λ
不成立,
與題設不符,矛盾.所以λ≥1.又由①式知λ≥1符合題意.
故B>1時,λ≥1.
綜上所述,當0<B<1時,λ>
2
1+B
;當B>1時,λ≥1.
點評:本題屬于數(shù)列綜合運用題,考查了由所給的遞推關系證明數(shù)列的性質(zhì),對所給的遞推關系進行研究求數(shù)列的遞推公式以及利用數(shù)列的求和公式求其和,再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數(shù)的取值范圍,難度較大,綜合性很強,對答題者探究的意識與探究規(guī)律的能力要求較高,是一道能力型題.
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AD
,
AA1
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;
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21
2
x1
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