Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{2|x-5|-2，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)有且僅有一對，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪{$\sqrt{3}$}
• B． [$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）∪{$\frac{\sqrt{7}}{7}$}
• C． [$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪{$\sqrt{5}$}
• D． [$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$）∪{$\frac{\sqrt{5}}{5}$}

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{2|x-5|-2，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)有且僅有一對，則函數(shù)y=log_ax與y=2|x-5|-2在[3，7]上有且只有一個交點(diǎn)，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{2|x-5|-2，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）的圖象上
關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)有且僅有一對，
∴函數(shù)y=log_ax，與y=2|x-5|-2在[3，7]上有且只有一個交點(diǎn)，
當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖象過（5，-2）點(diǎn)時，
由log_a5=-2，解得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖象過（3，2）點(diǎn)時，
由log_a3=2，解得a=$\sqrt{3}$；
當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖象過（7，2）點(diǎn)時，
由log_a7=2，解得a=$\sqrt{7}$．
故a∈[$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$）∪{$\frac{\sqrt{5}}{5}$}，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．