Question

15．已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
故f（1）=0，f′（1）=-1，
故切線方程是：y=-（x-1），
即x+y-1=0．
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，
即a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則h′（x）=-2•$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令m（x）=1-$\frac{1}{x}$-lnx，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則m′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＞0，m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
故m（x）＜m（$\frac{1}{2}$）=-1+ln2＜0，
故h′（x）＞0，h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
h（x）＜h（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故a＞2-4ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．