Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都是2，又AA₁⊥平面ABC，D，E分別是AC，CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥平面A₁BD；
（2）求點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，即可證得結(jié)論；
（2）

B1B

=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0），利用距離公式可求點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離．

解答： （1）證明：以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A₁（1，-2，0），C₁（-1，-2，0），B（0，0，

3

），
∴

AE

=（-2，-1，0），

A1D

=（-1，2，0），

BD

=（0，0，-

3

），
∴

AE

•

A1D

=0，

AE

•

BD

=0，
∴

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

，
又A₁D與BD相交，
∴AE⊥面A₁BD．        
   
（2）

B1B

=（0，2，0），
設(shè)面DA₁B的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

-x1+2y1=0 z1=0

，不妨取

n1

=（2，1，0），
則B₁到平面A₁BD的距離為d=|

B1B • n1

| n1 |

|=

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面垂直，考查面面角，考查點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．