Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C₁：

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換

x′=2x y′= 3 y

得到曲線(xiàn)C₂．A，B是曲線(xiàn)C₂上兩點(diǎn)，且OA⊥OB．
（1）求曲線(xiàn)C₁，C₂的普通方程；
（2）求點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先，根據(jù)坐標(biāo)變換，得到曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，然后，消去參數(shù)，得到其普通方程；
（2）首先，建立極坐標(biāo)系，寫(xiě)出橢圓的極坐標(biāo)方程，然后，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解和化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：（1）根據(jù)曲線(xiàn)C₁：

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），得
x²+y²=1，
經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換

x′=2x y′= 3 y

得到曲線(xiàn)C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，
∴

ρ2cos2θ

a2

+

ρ2sin2θ

b2

=1，
∴ρ2=

1

cos2θ a2 + sin2θ b2

=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

設(shè)A（ρ₁，θ） B（ρ₂，θ+

π

2

），則
|AB|=

ρ12+ρ22

∴點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離

|OA||OB|

|AB|

，
=

ρ1ρ2

ρ12+ρ22

=

1

1 ρ12 + 1 ρ22

=

ab

a2+b2

，
∴點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離

ab

a2+b2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了坐標(biāo)變換、曲線(xiàn)C的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．