Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n滿足4S_n=a_n²+2a_n．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

＜

1

2

，n∈N^*．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，4S₁=4a₁=a₁²+2a₁，從而得到數列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由

1

an2

=

1

4n2

，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，利用裂項法能證明

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

＜

1

2

，n∈N^*．

解答： （1）解：∵各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n滿足4S_n=a_n²+2a_n，
∴n≥2時，4a_n=4S_n-4S_n-1=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又4S₁=4a₁=a₁²+2a₁，解得a₁=2，或a₁=0（舍），
∴數列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）證明：∵

1

an2

=

1

4n2

，

1

n

＜

1

n-1

（n≥2）
∴

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

=

1

4

（

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
＜

1

4

（1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=

1

4

（2-

1

n

）
=

1

2

-

1

4n

＜

1

2

．
∴

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

＜

1

2

，n∈N^*．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意構造法和裂項求和法的合理運用．