Question

6．有兩個函數(shù)$f（x）=asin（kx+\frac{π}{3}），g（x）=btan（kx-\frac{π}{4}）（k＞0）$，它們的最小正周期之和為3π，且滿足$f（2π）=g（\frac{π}{2}），f（\frac{3π}{2}）=g（\frac{5π}{12}）-2$，求這兩個函數(shù)的解析式，并求g（x）的對稱中心坐標及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)題意列出方程組，求出k、a、b的值，寫出函數(shù)f（x）、g（x）的解析式，再求函數(shù)g（x）的對稱中心坐標與單調(diào)區(qū)間．

解答 解：依題意可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2π}{k}+\frac{π}{k}=3π\(zhòng)\ asin（2kπ+\frac{π}{3}）=btan（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{4}）\\ asin（\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{3}）=btan（\frac{5kπ}{12}-\frac{π}{4}）-2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=2\\ b=\sqrt{3}.\end{array}\right.$；
故$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}），g（x）=\sqrt{3}tan（x-\frac{π}{4}）$；
令$x-\frac{π}{4}=\frac{kπ}{2}$，得$x=\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}$，
故g（x）的對稱中心坐標為$（\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，0）（k∈Z）$，
當$-\frac{π}{2}+kπ＜x-\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$時，g（x）單調(diào)遞增，
即當$-\frac{π}{4}+kπ＜x＜\frac{3π}{4}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$時，g（x）單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．