Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F₂的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$，列出方程組，求出a=2，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為x=ty+1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、換元法、函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知條件能求出△F₁PQ面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的短軸長為2$\sqrt{3}$，且離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為x=ty+1，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
設(shè)P（x₁，y₁）＜Q（x₂，y₂），
則${S}_{△{F}_{1}PO}$=$\frac{1}{2}•2c•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=|y₁-y₂|=12•$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（3{t}^{2}+4}）^{2}}$，
令u=$\sqrt{{t}^{2}+1}$∈[1，+∞），
則${S}_{△{F}_{1}PQ}=\frac{12}{3u+\frac{1}{μ}}$，
∵y=3$μ+\frac{1}{μ}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)μ=1，即t=0時，（${S}_{△{F}_{1}PQ}$）_min=3．
∴△F₁PQ面積的最小值是3．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式、換元法、函數(shù)單調(diào)性的合理運(yùn)用．