Question

2．已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{PA}$|≥2|$\overrightarrow{PB}$|，直線PA交y軸于點(diǎn)C，則sin∠ACB的最大值為$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則滿足（x-3）²+y²≤4，∴動(dòng)點(diǎn)P在圓M：（x-3）²+y²=4上及內(nèi)部，當(dāng)AP與圓M相切時(shí)，sin∠ACB最大，由此能求出sin∠ACB的最大值．

解答 解：設(shè)P（x，y），∵點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{PA}$|≥2|$\overrightarrow{PB}$|，
|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}≥2\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
∴滿足（x-3）²+y²≤4，
∴動(dòng)點(diǎn)P在圓M：（x-3）²+y²=4上及內(nèi)部，
當(dāng)AP與圓M相切時(shí)，sin∠ACB最大，
此時(shí)AP：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），點(diǎn)C（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∠ACO=60°，tan$∠OCB=2\sqrt{3}$，
tan$∠ACB=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴sin∠ACB=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{39}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的正弦值的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．