Question

13．設(shè)拋物線C₁：y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，焦點(diǎn)為F₂，橢圓C₂以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且橢圓C₂上的點(diǎn)到F₁的距離的最大值為3．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l經(jīng)過(guò)橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂兩點(diǎn)，與橢圓C₂交于B₁、B₂兩點(diǎn)，當(dāng)以B₁B₂為直徑的圓經(jīng)過(guò)F₁時(shí)，求|A₁A₂|的長(zhǎng)；
（3）若M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF₂為半徑作⊙M是否存在定圓⊙N，使得⊙M與⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知C=1，a+c=3，即可求得a、b和c的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類當(dāng)斜率不存在時(shí)，判斷不成立，當(dāng)斜率存在，設(shè)出直線方程，將直線方程代入橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式能求出|A₁A₂|．
（3）定圓N的方程為：（x+1）²+y²=16，求得圓心，由拋物線的性質(zhì)，可求得|MF₁|=4-|MF₂|，兩圓相內(nèi)切．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，焦點(diǎn)為F₂，
∴橢圓C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+c=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（3分）
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），
又F₁（-1，0），此時(shí)$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$≠0，
∴以B₁B₂為直徑的圓不經(jīng)過(guò)F₁，不滿足條件，
當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，即（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∵焦點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴恒有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵以B₁B₂為直徑的圓經(jīng)過(guò)F₁，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}{F}_{1}}$=0，又F₁（-1，0），
∴（-1-x₁）•（-1-x₂）+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x²）+1+k²=0，
∴（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（1-k²）•（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）+1+k²=0，
解得k²=$\frac{9}{7}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴k≠0，設(shè)A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），則x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1，
∴|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{64}{9}$，…（8分）
（3）存在定圓N，使得⊙M與⊙N恒相切，
定圓N的方程為：（x+1）²+y²=16，圓心是左焦點(diǎn)F（-1，0），
由橢圓定義知|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴兩圓相內(nèi)切．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要注意根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，屬于難題．