Question

若

a

=（cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

b

=（cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

），設f（x）=

a

•

b

；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)間的關系可將f（x）化簡為：f（x）=

2

sin（x+

3π

4

）即可求其最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的單調性，構造關于x的不等式組，解得即可求得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

b

=（cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

），
∴f（x）=

a

•

b

=cos²

x

2

-sin²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx=

2

sin（x+

3π

4

），
∵ω=1，故f（x）的最小正周期為2π；
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得：2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

，k∈Z．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]（k∈Z）
由2kπ+

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z．
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調性，考查兩角和與差的三角函數(shù)間的關系，考查倍角公式，屬于中檔題．