Question

已知m為參數(shù)，對(duì)?x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）=

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m不等式

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立；當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，把

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立轉(zhuǎn)化為即xlnx≤m（x²-1）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-mx²+m，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，從而求得m的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x=1時(shí)，

xlnx

x+1

≤m（x-1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)m都成立；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，要使

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立，
即xlnx≤m（x²-1）恒成立，
令g（x）=xlnx-mx²+m，
則g′（x）=lnx+1-2mx，
再令u（x）=lnx+1-2mx，
則u′(x)=

1

x

-2m=

1-2mx

x

=

-2m(x- 1 2m )

x

，
當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，對(duì)于x∈（1，+∞），有u′（x）≤0，
u（x）為減函數(shù)，
則u（x）＜u（1）=1-2m≤0．
g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，則g（x）＜g（1）=0；
即xlnx≤m（x²-1）恒成立；
當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，對(duì)于x∈（1，+∞），有u′（x）＞0，
u（x）為增函數(shù)，
則u（x）＞u（1）=1-2m＞0．
g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，則g（x）＞g（1）=0．
xlnx≤m（x²-1）不成立．
∴m的范圍是[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．