Question

若函數(shù)y=cos²x+asinx-

1

2

a-

3

2

的最大值是1，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：化簡可得y=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

1

2

a-

1

2

，由二次函數(shù)區(qū)間的最值分類討論可得．

解答： 解：化簡可得y=cos²x+asinx-

1

2

a-

3

2

=1-sin²x+asinx-

1

2

a-

3

2

=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

1

2

a-

1

2

，
當(dāng)

a

2

≤-1即a≤-2時，由二次函數(shù)可知sinx=-1時，上式取最大值-

3

2

a-

3

2

=1，解得a=-

5

3

不滿足a≤-2，應(yīng)舍去；
當(dāng)-1＜

a

2

＜1即-2＜a＜2時，由二次函數(shù)可知sinx=

a

2

時，上式取最大值

a2

4

-

1

2

a-

1

2

=1，解得a=1-

7

或a=1+

7

經(jīng)檢驗(yàn)a=1-

7

滿足-2＜a＜2，而a=1+

7

不滿足，應(yīng)舍去；
當(dāng)

a

2

≥1即a≥2時，由二次函數(shù)可知sinx=1時，上式取最大值

1

2

a-

3

2

=1，解得a=5滿足a≥2，符合題意．
綜上可知a的值為1-

7

或5

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論的思想，屬中檔題．