Question

16．已知對(duì)任意x∈R，不等式2${\;}^{-{x}^{2}-x}$＞（$\frac{1}{2}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+m+4}$恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，化簡不等式，求出它的解集即可．

解答 解：原不等式可化為${（\frac{1}{2}）}^{{x}^{2}+x}$＞${（\frac{1}{2}）}^{{2x}^{2}-mx+m+4}$，…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{x}$在R上是減函數(shù)，
所以x²+x＞2x²-mx+m+4在R上恒成立，
即x²-（m+1）x+m+4＞0對(duì)x∈R恒成立，…（6分）
所以△=[-（m+1）]²-4（m+4）＜0，
即m²-2m-15＜0，解得-3＜m＜5，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-3，5）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．